العاصفة السلبية

الأعدادالمركبةهيأحدالمفاهيمالأساسيةفيالرياضيات،وتلعبدورًامهمًافيالعديدمنالتطبيقاتالعلميةوالهندسية.فيهذاالدرس،سنتعرفعلىتعريفالأعدادالمركبة،خصائصها،وكيفيةالتعاملمعهافيالعملياتالحسابيةالمختلفة.

1.ماهيالأعدادالمركبة؟

العددالمركبهوعدديمكنكتابتهعلىالصورة:
[z=a+bi]
حيث:
-aوbهماعددانحقيقيان.
-iهيالوحدةالتخيلية،وتحققالمعادلة(i^2=-1).

يُسمىaبـ"الجزءالحقيقي"للعددالمركب،بينمايُسمىbبـ"الجزءالتخيلي".

2.التمثيلالهندسيللأعدادالمركبة

يمكنتمثيلالعددالمركب(z=a+bi)كنقطةفيالمستوىالإحداثي(يُسمىالمستوىالمركب)،حيث:
-المحورالأفقييمثلالجزءالحقيقي(a).
-المحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي(b).

3.العملياتالأساسيةعلىالأعدادالمركبة

أ.الجمعوالطرح

لجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالتخيليةبشكلمنفصل:
[(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i]
[(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i]

ب.الضرب

يتمضربعددينمركبينباستخدامخاصيةالتوزيعومراعاةأن(i^2=-1):
[(a+bi)\cdot(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=(ac-bd)+(ad+bc)i]

ج.القسمة

لقسمةعددينمركبين،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقاملإزالةiمنالمقام:
[\frac{ a+bi}{ c+di}=\frac{ (a+bi)(c-di)}{ c^2+d^2}]

4.مرافقالعددالمركب

مرافقالعددالمركب(z=a+bi)هوالعدد(\overline{ z}=a-bi).منخصائصه:
-ضربالعددبمرافقهيعطيعددًاحقيقيًا:(z\cdot\overline{ z}=a^2+b^2).

5.تطبيقاتالأعدادالمركبة

تستخدمالأعدادالمركبةفي:
-تحليلالدوائرالكهربائية.
-معالجةالإشاراتوالموجات.
-الفيزياءالكميةوالهندسة.

6.خاتمة

الأعدادالمركبةتوسعمفهومالأعدادالحقيقيةوتقدمحلولًاللمعادلاتالتيلايوجدلهاحلفيمجموعةالأعدادالحقيقية(مثل(x^2+1=0)).بفهمهاجيدًا،يمكنتطبيقهافيمجالاتمتعددةلتحليلوحلالمشكلاتالمعقدة.

هذاالدرسيقدمأساسياتالأعدادالمركبة،وللتعمقأكثريمكندراسةتحويلاتفورييهوحسابالتفاضلوالتكاملفيالمستوىالمركب.

الأعدادالمركبةهيأحدالمفاهيمالأساسيةفيالرياضيات،وتلعبدورًامهمًافيالعديدمنالتطبيقاتالعلميةوالهندسية.فيهذاالدرس،سنتعرفعلىتعريفالأعدادالمركبة،وخصائصها،وكيفيةالتعاملمعهافيالعملياتالحسابيةالمختلفة.

1.ماهيالأعدادالمركبة؟

العددالمركبهوعدديمكنكتابتهعلىالصورة:
[z=a+bi]
حيث:
-(a)هوالجزءالحقيقيللعدد.
-(b)هوالجزءالتخيليللعدد.
-(i)هيالوحدةالتخيلية،وتُعرفبأنهاالجذرالتربيعيللعدد-1،أي:
[i^2=-1]

2.تمثيلالأعدادالمركبة

يمكنتمثيلالأعدادالمركبةبعدةطرق،منها:
-التمثيلالجبري:(z=a+bi)
-التمثيلالهندسي:يُمكنتمثيلالعددالمركبكنقطةفيالمستوىالإحداثي(مستوىالأعدادالمركبة)،حيثيمثلالمحورالأفقيالجزءالحقيقيوالمحورالرأسيالجزءالتخيلي.

3.العملياتالأساسيةعلىالأعدادالمركبة

أ)الجمعوالطرح

لجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالتخيليةبشكلمنفصل:
[(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i]
[(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i]

ب)الضرب

لضربعددينمركبين،نستخدمخاصيةالتوزيعونتذكرأن(i^2=-1):
[(a+bi)\cdot(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=(ac-bd)+(ad+bc)i]

ج)القسمة

لقسمةعددينمركبين،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقاملإزالةالجزءالتخيليمنالمقام:
[\frac{ a+bi}{ c+di}=\frac{ (a+bi)(c-di)}{ c^2+d^2}]

4.مرافقالعددالمركب

مرافقالعددالمركب(z=a+bi)هوالعدد(\overline{ z}=a-bi).منخصائصالمرافق:
-(z+\overline{ z}=2a)(عددحقيقي).
-(z\cdot\overline{ z}=a^2+b^2)(عددحقيقيموجب).

5.معيارالعددالمركب

معيارالعددالمركب(z=a+bi)هوالمسافةبينالنقطة((a,شرحدرسالأعدادالمركبةb))ونقطةالأصلفيالمستوىالمركب،ويُحسببالعلاقة:
[|z|=\sqrt{ a^2+b^2}]

6.تطبيقاتالأعدادالمركبة

تستخدمالأعدادالمركبةفيالعديدمنالمجالاتمثل:
-الهندسةالكهربائية:تحليلالدوائرالكهربائيةالتيتعملبالتيارالمتردد.
-الفيزياء:دراسةالموجاتوالاهتزازات.
-معالجةالإشارات:تحليلالإشاراتالرقميةوالتناظرية.

الخلاصة

الأعدادالمركبةتوسعمفهومالأعدادالحقيقيةوتسمحبحلمعادلاتلايمكنحلهافينطاقالأعدادالحقيقيةفقط.منخلالفهمأساسياتهاوتطبيقاتها،يمكنالاستفادةمنهافيالعديدمنالمجالاتالعلميةوالتقنية.