العاصفة السلبية

مقدمةعنالأعدادالمركبة

الأعدادالمركبةهيأعدادتتكونمنجزئين:جزءحقيقيوجزءتخيلي.يتمالتعبيرعنهاعادةبالصيغةa+biحيث:-aهوالجزءالحقيقي-bهوالجزءالتخيلي-iهيالوحدةالتخيليةحيثi²=-1شرحدرسالأعدادالمركبة

تاريخالأعدادالمركبة

ظهرتالأعدادالمركبةلأولمرةفيالقرنالسادسعشرعندماحاولعلماءالرياضياتحلمعادلاتلايمكنحلهاباستخدامالأعدادالحقيقيةفقط.كانجيرولاموكاردانوأولمنقدموصفًامنهجيًالهذهالأعدادفيعام1545.

شرحدرسالأعدادالمركبة

خصائصالأعدادالمركبة

1. الجمعوالطرح:(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i
2. الضرب:(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
3. القسمة:يتمضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقام

التمثيلالهندسي

يمكنتمثيلالعددالمركبعلىالمستوىالديكارتيحيث:-المحورالأفقييمثلالجزءالحقيقي-المحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي-كلعددمركبيقابلنقطةفيهذاالمستوى

شرحدرسالأعدادالمركبة

الصيغةالقطبية

يمكنالتعبيرعنالعددالمركبباستخدامالصيغةالقطبية:z=r(cosθ+isinθ)حيث:-rهوالمقياس(الطول)-θهيالزاوية(الوسع)

شرحدرسالأعدادالمركبة

تطبيقاتالأعدادالمركبة

1. فيالهندسةالكهربائيةلحسابدوائرالتيارالمتردد
2. فيمعالجةالإشاراتوالتحليلالطيفي
3. فيميكانيكاالكموفيزياءالجسيمات
4. فيالرسوماتالحاسوبيةوالتحريك

خاتمة

الأعدادالمركبةليستمجردمفهومرياضينظري،بللهاتطبيقاتعمليةواسعةفيالعديدمنالمجالاتالعلميةوالتقنية.فهمهذهالأعداديفتحالبابلفهمأكثرتعمقًاللعديدمنالظواهرالطبيعيةوالتقنياتالحديثة.

شرحدرسالأعدادالمركبة

مقدمةعنالأعدادالمركبة

الأعدادالمركبةهيأعدادتتكونمنجزئين:جزءحقيقيوجزءتخيلي.يتمالتعبيرعنهابالصيغةالعامةa+biحيث:-aهوالجزءالحقيقي-bهوالجزءالتخيلي-iهيالوحدةالتخيليةحيثi²=-1

شرحدرسالأعدادالمركبة

خصائصالأعدادالمركبة

1. الجمعوالطرح:عندجمعأوطرحعددينمركبين،نجمع/نطرحالأجزاءالحقيقيةوالتخيليةبشكلمنفصل.مثال:(3+2i)+(1-4i)=(3+1)+(2-4)i=4-2i

   شرحدرسالأعدادالمركبة

2. الضرب:نستخدمخاصيةالتوزيعمعتذكرأنi²=-1.مثال:(2+3i)(1-2i)=2(1)+2(-2i)+3i(1)+3i(-2i)=2-4i+3i-6i²=2-i-6(-1)=8-i

   شرحدرسالأعدادالمركبة

3. القسمة:نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقاملإزالةiمنالمقام.مثال:(1+i)/(2-i)=[(1+i)(2+i)]/[(2-i)(2+i)]=(2+i+2i+i²)/(4-i²)=(1+3i)/5

   شرحدرسالأعدادالمركبة

التمثيلالهندسي

يمكنتمثيلالعددالمركبa+biكنقطةفيالمستوىالمركبحيث:-المحورالأفقييمثلالجزءالحقيقي-المحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي

شرحدرسالأعدادالمركبة

الصيغةالقطبية

يمكنالتعبيرعنالعددالمركببالصيغةالقطبيةr(cosθ+isinθ)حيث:-rهوالمقياس(المسافةمنالأصلللنقطة)-θهيالزاويةمعالمحورالحقيقيالموجب

شرحدرسالأعدادالمركبة

تطبيقاتالأعدادالمركبة

1. فيالهندسةالكهربائيةلحسابدوائرالتيارالمتردد
2. فيمعالجةالإشاراتوتحليلالموجات
3. فيميكانيكاالكموفيزياءالجسيمات
4. فيالرسوماتالحاسوبيةوالتحويلاتالهندسية

الخاتمة

الأعدادالمركبةتوسعمفهومنظامالأعدادالحقيقيةوتقدمأداةقويةلحلمعادلاتلايمكنحلهافينظامالأعدادالحقيقيةفقط.فهمالأعدادالمركبةأساسيفيالعديدمنفروعالرياضياتوالعلومالتطبيقية.

شرحدرسالأعدادالمركبة

الأعدادالمركبةهيمفهومرياضيمتقدميمثلتوسيعاًلمجموعةالأعدادالحقيقيةالتينعرفها.فيهذاالدرس،سنستكشفمعاًهذاالنوعالمميزمنالأعدادالذييلعبدوراًأساسياًفيالعديدمنفروعالرياضياتوالهندسةوالفيزياء.

شرحدرسالأعدادالمركبة

ماهيالأعدادالمركبة؟

العددالمركبهوعدديمكنالتعبيرعنهبالصيغة:a+biحيث:-aوbأعدادحقيقية-iهيالوحدةالتخيليةالتيتحققالمعادلةi²=-1

شرحدرسالأعدادالمركبة

فيالعددالمركبa+bi:-aيسمىالجزءالحقيقي(RealPart)-bيسمىالجزءالتخيلي(ImaginaryPart)

شرحدرسالأعدادالمركبة

لماذاندرسالأعدادالمركبة؟

1. حلالمعادلاتالتيليسلهاحلفيالأعدادالحقيقية(مثلx²+1=0)
2. تطبيقاتفيالهندسةالكهربائيةوالفيزياءالكمية
3. استخداماتفيمعالجةالإشاراتوالصورالرقمية
4. أساسفيالعديدمنالنظرياتالرياضيةالمتقدمة

العملياتالأساسيةعلىالأعدادالمركبة

1.الجمعوالطرح:

(أ+بي)±(ج+دي)=(أ±ج)+(ب±د)ي

شرحدرسالأعدادالمركبة

2.الضرب:

(أ+بي)×(ج+دي)=(أج-بد)+(أد+بق)ي

شرحدرسالأعدادالمركبة

3.القسمة:

للقسمة،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقام

شرحدرسالأعدادالمركبة

التمثيلالهندسيللأعدادالمركبة

يمكنتمثيلالعددالمركبa+biكنقطةفيالمستوىالمركب(مستوىأرجاند)حيث:-المحورالأفقييمثلالجزءالحقيقي-المحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي

شرحدرسالأعدادالمركبة

الصيغةالقطبيةللعددالمركب

يمكنالتعبيرعنالعددالمركبباستخدامالصيغةالقطبية:r(cosθ+isinθ)حيث:-r=√(a²+b²)هوالمقياس(Modulus)-θ=tan⁻¹(b/a)هوالسعة(Argument)

شرحدرسالأعدادالمركبة

خصائصمهمةللأعدادالمركبة

1. لكلعددمركبمرافق(Conjugate)وهوa-bi
2. يمكنرفعالأعدادالمركبةإلىقوىباستخدامنظريةديموافر
3. لهاتطبيقاتفيتحويلفورييهونظريةالدوالالتحليلية

أمثلةتطبيقية

1. حلالمعادلةالتربيعية:x²+4x+5=0الحل:x=-2±i

   شرحدرسالأعدادالمركبة

2. حساب(1+i)³باستخدامنظريةديموافر

   شرحدرسالأعدادالمركبة

الخلاصة

الأعدادالمركبةتوسعمفهومناعنالأعدادوتفتحآفاقاًجديدةفيالرياضياتوالتطبيقاتالعملية.فهمهايتطلبإدراكاًللعلاقةبينالجزءالحقيقيوالتخيلي،وكيفيةتمثيلهاهندسياًوإجرائالعملياتعليها.

شرحدرسالأعدادالمركبة